தமிழ் அளவைகளின் படி, ஒரு நாள் மற்றும் வருடம் அற்புதமாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. மேற்கத்திய முறைப்படி, ஒரு நாள் 24 ஆக பிரிக்கப்பட்டு, ஒவ்வொரு மணிநேரமும் 60 ஆக பிரிக்கப்படுகிறது (விநாடி). பின்பு ஒவ்வொரு விநாடியும் மேலும் 60 ஆல் பகுக்கப்பட்டு நொடி என்று வழங்கப்படுகிறது. இந்த நொடி என்பது தமிழ் அளவைகளின் படி தவறாகும்.
தமிழ் அளவைகளின்படி, ஒரு நாள் 60 ஆல் பகுக்கப்பட்டு 1 நாழிகை என வழங்கப்படுகிறது. பின்பு 1 நாழிகை 60 ஆக பிரிக்கப்பட்டு, 1 விநாடி எனவும், 1 விநாடி 24 ஆல் வகுபட்டு 1 உயிர் ஆகிறது.
2 கண்ணிமை = 1 நொடி
2 கைநொடி = 1 மாத்திரை
2 மாத்திரை = 1 குரு
2 குரு = 1 உயிர்
2 உயிர் = 1 சணிகம்
12 சணிகம் = 1 விநாடி
60 விநாடி = 1 விநாடி - நாழிகை
2 1/2 நாழிகை = 1 ஓரை
3 3/4 நாழிகை = 1 முகூர்த்தம்
2 முகூர்த்தம் = 1 சாமம்
4 சாமம் = 1 பொழுது
2 பொழுது = 1 நாள்
15 நாள் = 1 பக்கம்
2 பக்கம் (30 நாள்) = 1 மாதம்
6 மாதம் = 1 அயனம்
2 அயனம் (12 மாதம்) = 1 ஆண்டு
12 ஆண்டு = 1 மாமாங்கம்
5 மாமாங்கம் = 1 வட்டம்
இதன்படி ஒரு முறை நொடிக்கும் அளவு 1/4 of a second-ம் ஒரு முறை கண்ணிமைக்கும் நேரம் 1/16 of a second ஆகவும் வருகிறது. அதாவது, ஒரு செகண்ட்க்கு, 16 முறை கண்ணிமைக்க முடியும் போல தெரிகிறது. அறிவியல் ஆய்வின் படி, ஒரு முறை கண்ணிமைக்கும் நேரம் 300 millisecons i.e. ~1/3 of a second. இதில் யார் சரி என்று சொல்வது?
செவ்வாய், செப்டம்பர் 20, 2011
செவ்வாய், ஆகஸ்ட் 23, 2011
இருபடிச் சமன்பாடுகள்
எதற்காக இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றி தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்?
இந்த இயற்கையில் உள்ள சில நிகழ்வுகளைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள மணிதனுக்கு ஆசை இருந்தது. அதைப்பற்றி ஆராயும் பொழுது, ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உடையதாக இருந்தது. அப்படியென்றால், எவ்வாறான தொடர்பு? இதை வரையறுக்க, அதை குறியீடுகளாக இருந்தால் பரவாயில்லை என்று நினைத்தான். ஆகையால், மாறிகளையும் மாறிலிகளையும் (variables and constants) அறிமுகப்படுத்தினான். காலத்துக்கும், வேகத்துக்கும் என்ன தொடர்பு. வேகம் அதிகரித்தால், கடக்கக்கூடிய காலம் குறையும். ஆகையால், எதிர்மறைத் தொடர்பு. s = d/t (s - speed, d - distance, t - time). இந்த சமன்பாடு, மூன்று மாறிகளைக்கொண்டது.
சரி, இருபடிச் சமன்பாடுகள்? சிலசமயம், மாறிகள் வெறும் எளிய தொடர்பாக இருப்பதில்லை. அவற்றின் வர்க்கங்களாகவோ, கணங்களாகவோ இருக்கும். உதாரணமாக, ஒரு கல்லை மேல் நோக்கி விட்டெறிந்தால், அது என்ன வேகத்தில் மேலே போகும், என்ன வேகத்தில் கீழே வரும், என்ன பாதையில் போகும்? மேலே சென்று எந்த புள்ளியில் கீழ் நோக்கி திரும்பும்? அது கீழே வீசப்பட்ட இடத்திற்கு எப்போது வந்து சேரும்? எந்த பொருளை மேலே வீசினாலும், அது ஒரு பேரபோலா என்ற ஒரு வளைவாக போகும். அதாவது மேல் நோக்கி வளைந்த ஒரு வில் போல. பேரபோலாக்களை இருபடிச் சமன்பாடுகளாகத்தான் குறிக்க முடியும்.
உதாரணமாக,
h = ut - dt^2
h - உயரம்
u - மேல்நோக்கிய வேகம்
d - கீழ் வரும்போது முடுக்கம் (acceleration). என்ன வேகத்தில் வேகமடைகிறது. இங்கு புவியீர்ப்பு விசை. (gravity)
t - நேரம்.
மேல் நோக்கிய வேகமும், கீழ்நோக்கிய முடுக்கமும் மாறிலிகள் அல்லது முதலிலேயே தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது, u = 30.2 ms^-1, d = 9.8 ms^-2.
h = 30.2 t - 9.8 t^2
சரி, அப்படியென்றால், இங்கு நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது, மேலே வீசிய கல் எப்போது கீழே வரும். மேலே வீசப்படும் போதும், கீழே வந்து தரையை தொடும்போதும், உயரம் ௦ அல்லவா? (சரி, ஒரு ஆள், ஆளுயர குழிக்குள் இருந்து வீசுவதாக வைச்சுக்கோங்க :-)). அப்படியென்றால்
30.2 t - 9.2 t^2 = 0
இது ஒரு தெரிந்த இருபடிச்சமன்பாடு அல்லவா? இது போன்ற வடிவிலுள்ள சமன்பாடுகளை எப்படி தீர்ப்பது எண்பதைத்தான் கணிதம் வரையறுத்துள்ளது. அதன் ஃபார்முலாவை போட்டால், t கிடைத்து விடப்போகிறது. அதாவது t = (௦, 6.16). கல் கீழே தரையைத் தொட ஆறு நொடிகள் ஆகும். அவ்வளவுதான்.
கணிதம் இங்கிருந்து தனியாக பிரிந்து, சரி, t பதிலாக x -யை போடு. இந்த சமன்பாடுகளை எந்த எந்த வகையில் தீர்க்கலாம். எவ்வளவு வேகமாக தீர்க்கலாம். x பற்றி வேறு ஏதேனும் தெரிந்தால், விரைவாக முடிக்க முடியுமா? என்று generalize பண்ண ஆரம்பிக்கும். அதுதான் கணிதம். மேலே சொன்னது கணித்தத்தின் பயன்பாட்டின் ஒரு மாதிரி.
இதற்கு பின்னூட்டமாக போட்டது.
இந்த இயற்கையில் உள்ள சில நிகழ்வுகளைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள மணிதனுக்கு ஆசை இருந்தது. அதைப்பற்றி ஆராயும் பொழுது, ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உடையதாக இருந்தது. அப்படியென்றால், எவ்வாறான தொடர்பு? இதை வரையறுக்க, அதை குறியீடுகளாக இருந்தால் பரவாயில்லை என்று நினைத்தான். ஆகையால், மாறிகளையும் மாறிலிகளையும் (variables and constants) அறிமுகப்படுத்தினான். காலத்துக்கும், வேகத்துக்கும் என்ன தொடர்பு. வேகம் அதிகரித்தால், கடக்கக்கூடிய காலம் குறையும். ஆகையால், எதிர்மறைத் தொடர்பு. s = d/t (s - speed, d - distance, t - time). இந்த சமன்பாடு, மூன்று மாறிகளைக்கொண்டது.
சரி, இருபடிச் சமன்பாடுகள்? சிலசமயம், மாறிகள் வெறும் எளிய தொடர்பாக இருப்பதில்லை. அவற்றின் வர்க்கங்களாகவோ, கணங்களாகவோ இருக்கும். உதாரணமாக, ஒரு கல்லை மேல் நோக்கி விட்டெறிந்தால், அது என்ன வேகத்தில் மேலே போகும், என்ன வேகத்தில் கீழே வரும், என்ன பாதையில் போகும்? மேலே சென்று எந்த புள்ளியில் கீழ் நோக்கி திரும்பும்? அது கீழே வீசப்பட்ட இடத்திற்கு எப்போது வந்து சேரும்? எந்த பொருளை மேலே வீசினாலும், அது ஒரு பேரபோலா என்ற ஒரு வளைவாக போகும். அதாவது மேல் நோக்கி வளைந்த ஒரு வில் போல. பேரபோலாக்களை இருபடிச் சமன்பாடுகளாகத்தான் குறிக்க முடியும்.
உதாரணமாக,
h = ut - dt^2
h - உயரம்
u - மேல்நோக்கிய வேகம்
d - கீழ் வரும்போது முடுக்கம் (acceleration). என்ன வேகத்தில் வேகமடைகிறது. இங்கு புவியீர்ப்பு விசை. (gravity)
t - நேரம்.
மேல் நோக்கிய வேகமும், கீழ்நோக்கிய முடுக்கமும் மாறிலிகள் அல்லது முதலிலேயே தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது, u = 30.2 ms^-1, d = 9.8 ms^-2.
h = 30.2 t - 9.8 t^2
சரி, அப்படியென்றால், இங்கு நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது, மேலே வீசிய கல் எப்போது கீழே வரும். மேலே வீசப்படும் போதும், கீழே வந்து தரையை தொடும்போதும், உயரம் ௦ அல்லவா? (சரி, ஒரு ஆள், ஆளுயர குழிக்குள் இருந்து வீசுவதாக வைச்சுக்கோங்க :-)). அப்படியென்றால்
30.2 t - 9.2 t^2 = 0
இது ஒரு தெரிந்த இருபடிச்சமன்பாடு அல்லவா? இது போன்ற வடிவிலுள்ள சமன்பாடுகளை எப்படி தீர்ப்பது எண்பதைத்தான் கணிதம் வரையறுத்துள்ளது. அதன் ஃபார்முலாவை போட்டால், t கிடைத்து விடப்போகிறது. அதாவது t = (௦, 6.16). கல் கீழே தரையைத் தொட ஆறு நொடிகள் ஆகும். அவ்வளவுதான்.
கணிதம் இங்கிருந்து தனியாக பிரிந்து, சரி, t பதிலாக x -யை போடு. இந்த சமன்பாடுகளை எந்த எந்த வகையில் தீர்க்கலாம். எவ்வளவு வேகமாக தீர்க்கலாம். x பற்றி வேறு ஏதேனும் தெரிந்தால், விரைவாக முடிக்க முடியுமா? என்று generalize பண்ண ஆரம்பிக்கும். அதுதான் கணிதம். மேலே சொன்னது கணித்தத்தின் பயன்பாட்டின் ஒரு மாதிரி.
இதற்கு பின்னூட்டமாக போட்டது.
இதற்கு குழுசேர்:
இடுகைகள் (Atom)